FALTRADFORUM

EmilEmil hat geschrieben:In der nächsten Ausbaustufe kämmt dann ein noch größeres Kettenblatt direkt im Asfalt...

Interessante Idee - das da drauf noch keiner gekommen ist...

Da größere und kleinere Raddurchmesser immer ein Thema sind, habe ich die Daten von Thomas Senkel (Veröffentlicht 1993 in ProVelo32 und erneut in Fahrradzukunft Ausgabe0 2006) neu aufbereitet.
Die Aufbereitung betrifft zum einen den Bezug auf den Rad-Außendurchmesser (hier ohne Diagramm), zum anderen den Bezug auf den Rad-Außenradius. Es ist klar, daß sich an den Widerstandswerten selbst nichts ändert. Die Darstellung µroll = e/Ra ist in der Kraftfahrzeug-Technik üblich und hat den Vorteil, daß e = µroll * Ra sehr leicht berechenbar ist. e ist die Vorverlagerung des Radaufstandskraft-Druckpunktes. Für 3 [bar] hat e den Wert e = 1.192 [mm].; für 2 [bar] e = 3.261 [mm].
Der Mathematische Zusammenhang ist eine Hyperbel und e ist darin ein Proportionalitätsfaktor. Der Wert für e wurde mit der Methode der kleinsten Quadrate ermittelt.
µroll = e/Ra
Die Werte für Ra sind: 202,5 [mm]; 253 [mm]; 303,5 [mm]; 329,5 [mm]; 361 [mm];
Es ist immer der gleiche Reifentyp Schwalbe Standard GW HS 159



Nun kann sich jeder für den hier untersuchten Reifen eine Vorstellung darüber machen, mit welchen Unterschieden von kleinen zu großen Reifen zu rechnen ist. Der Rollwiderstand bestimmt sich zu : Mit Fr = Rollwiderstand [N] ; Fn = Radaufstandskraft [N]
Fr = µroll * Fn
Da immer wieder nicht korrekt zwischen Rollwiderstand (= Kraft in [Newton]) und Rollwiderstandsleistung (= Leistung in [Watt]) unterschieden wird, hier nochmal der Zusammenhang: Ist v = Geschwinfigkeit in [m/sec], dann gilt für die Leistung:

P = Fr * v , und damit für die Einheiten: [W] = [N] * [m/sec]

Auch wenn der Rollwiderstand weitgehend unabhängig von der Geschwindigkeit ist ( für Fahrräder mit V = 0 [km/h] bis 60 [km/h] ist er praktisch konstant; gesicherte Erkenntnis !), steigt dagegen die Rollwiderstandsleistung linear mit der Geschwindigkeit an.
Aus dem Diagramm kann man beim Vergleich der Werte für 559-Felge und 622-Felge entnehmen, daß der Rollwiderstand der Reifen bei den diskreten Meßwerten kaum Unterschiede zeigt, während nach der Kurve im Diagramm schon Unterschiede auftreten sollten. Das ist auf eine gewisse Streuung bei der Herstellung zurückzuführen. Auch wenn mir keine Werte der Hersteller bekannt sind, schätze ich schon, daß man von
+- 10 % ausgehen sollte.
Damit kann es vorkommen, daß ein "guter" kleiner bessere Werte hat als ein weniger "guter" großer von dem gleichen Hersteller, zumindest, wenn man "benachbarte Größen (20" vs 24"; 24" vs 26"; 26" vs 28") vergleicht. Von 20" auf 16" gibts aberschon einen deutlichen Anstieg des Rollwiderstandsbeiwerts (ca 25 % !)
Wenn dies (Abweichung +-10%) schon für gleichartige Reifen desselben Herstellers gilt, so dürfte die Abweichung für Reifen gleicher Größe und ähnlicher Bauart beim Vergleich verschiedener Hersteller noch größer sein.
Edit:
Nach M. Mitschke "Dynamik der Kraftfahrzeuge" Band A Seite9 1982 sind die Rollwiderstandsbeiwerte,
die auf Außentrommeln gemessen wurden, größer als die auf einer Ebene gemessenen.
Er gibt eine Umrechnungsformel, die von dem britischen Wissenschaftler A. Stiebel stammt. Sie lautet:
µroll(Trommel)/µroll(Ebene) = (1 + 2r/D)^0.5

mit 2r = Reifendurchmesser ; D = Trommeldurchmesser

Mit 2r = 506 [mm] (20" Raddurchmesser) und D = 2000 [mm] ergibt sich ein Wert 1,12 ; läßt man D über alle Grenzen wandern , ist der Wert 1,0 (Ebene = Trommel bei unendlich großem Radius). Das sieht vernünftig aus, aber ich habe weder Rechenerfahrung mit dieser Formel, noch kenne ich die genaueren theoretischen Grundlagen. Interessant, daß es so etwas gibt.

MfG EmilEmil

Da die Auswertung der Messungen von Thomas Senkel im vorhergehenden Faden erfolgreich verlaufen ist (nur ein bißchen Mühe in überschaubarem Zeitrahmen !), folgt hier eine weitere Arbeit: Die analytische Darstellung des Rollwiderstandsbeiwerts vs Luftdruck-Variation (Reifendruck)
auf der Basis von gemessenen Werten ( Messungen von Thomas Senkel (Erstausgabe 1993 in Pro Velo, Neuausgabe 2006 Fahrradzukunft 0).
Behandelt wurde ein Reifen der Größe (37-622) und des Typs Continental Top Touring.
Die Belastung ist m = 55 [kg] bei Drücken zwischen 1 [bar] und 6 [bar] ; p = Reifen-Druck.
Die Versuchs-Ergebnisse lassen eine umgekehrt proportionale Abhängigkeit des Rollwiderstandsbeiwerts vom Reifen-Druck vermuten. Wie die genaue Abhängigkeit ist, wird diese Auswertung zeigen. Wir beginnen mit :

Fr = µroll * Fn = wdoll * 1/p mit Wdoll = wdoll/Fn ergibt sich :
µroll = wdoll/Fn * 1/p = Wdoll * 1/p
Eine erste Auswertung der Meßergebnisse erfordert, daß Wdoll ebenfalls vom Druck abhängt und zwar linear. Mit Wdoll = m*p + b

µroll = Wdoll * 1/p = (m*p + b)*1/p = b/p + m ; wir schreiben: Für b = Wb; m = W0

µroll = Wb /p + W0

Da die Dimension [Fr] = [N] * [bar] * [1/bar] geschrieben werden kann, folgt für
[Wb] = [bar] und für [W0] = [-]
Somit kann die Größe Wb als "Charakteristischer Rollwiderstands-Druck eines Reifens bestimmter Bauart" interpretiert werden.


[/img]

Die analytische Kurve folgt den diskreten Meßpunkten optimal. Hersteller-Toleranzen scheiden hier aus, da nur der Luftdruck eines einzigen Reifen variiert wird. Mit zwei Meßpunkten können schon die beiden Konstanten der analytischen Kurve bestimmt werden. Evtl. benötigte Koordinaten werden anschließend aus dem Funktionsgraphen entnommen. Die analytische Funktion sollte für Fahrrad-Reifen verschiedensten Typs und Bauart ähnlich sein. Mit den beiden Konstanten erfolgt dann die Anpassung der Funktion auf den speziellen Fall.

MfG EmilEmil

Emil, sehr interessant.
Ich weiß zwar nicht, wie das berechnet wurde, soweit ich weiß existiert ja noch nicht mal ein sinnvolles Modell für den Rollwiderstand, aber vermutlich ist es irgendwie plausibel mit Messungen verglichen worden und einigermaßen glaubhaft. Ok.

Nun wäre es schön, mit dieser Theorie ein konkretes Beispiel auszurechnen, dann wird es greifbarer. Also sagen wir 20" Durano Reifen versus 28" Durano, beide gleich breit (1,2"?). Was ergibt sich dann für den prozentualen Rollwiderstandsunterschied? Liegt das in der Größenordnung 3%?

Pibach hat geschrieben:.............
Ich weiß zwar nicht, wie das berechnet wurde, soweit ich weiß existiert ja noch nicht mal ein sinnvolles Modell für den Rollwiderstand, aber vermutlich ist es irgendwie plausibel mit Messungen verglichen worden und einigermaßen glaubhaft. Ok..............
.......................Liegt das in der Größenordnung 3%?

Also erstmal bei der Größenordnung kannst Du schon mal eine Null dranhängen, statt 3 % etwa 30% oder mehr !

Zu Berechnung der Kurven ist alles gesagt : Zitat EmilEmil "Der Mathematische Zusammenhang ist eine Hyperbel und e ist darin ein Proportionalitätsfaktor. Der Wert für e wurde mit der Methode der kleinsten Quadrate ermittelt."
Die gemessenen Werte sind als kleine Kringel miteingetragen. Die analytischen Kurven bieten eine Interpolation zwischen den Meßpunkten und eine Extrapolation über die beiden Randwerte. Für die Abhängigkeit vom Druck muß für eine gute Übereinstimmung der Kurven mit den Meßpunkten die Hyperbel auf der y-Achse um einen konstanten Betrag verschoben werden.

µroll = e/Ra Radgrößenabhängigkeit

µroll = Wb /p + W0 Druckabhängigkeit

Die "Theorie" besteht nur darin, daß die Meßpunkte den Hinweis auf eine analytische Kurve (Hyperbel) geben. Für den Radgrößen-Ausdruck muß ein Parameter (der Wert e) und für die Druckabhängigkeit müssen zwei Parameter (Wb und W0) bekannt sein. D.h. ein bzw zwei Punkte müssen experimentell bestimmt werden oder besser in einer Datenbank enthalten sein.
Es stellt sich die Frage, warum das so ist :
Der Rollwiderstand ist eine Funktion von
Radgröße
Reifenbreite
Luftdruck
Gummimischung
Karkasse
Pannenschutz
Profil
davon müssen einige Punkte experimentell ermittelt werden (Wie zB für die Elastizitätslehre der E-Modul eines Materials durch einen Zugversuch bestimmt wird !) Einen Gummi-Mischungs-Abhängogkeits-Parameter kann ich mir schlecht vorstellen.
Ein Beispiel:
In Thomas Senkels Ergebnissen findet sich (evtl. ähnlich einem Durano ?) der (28-622) Avocet Slik mit µroll = 0.00349 [-] bei 7 [bar] Luftdruck.
(28-622) ergeben RA = 1/2*(622 + 2*28 + 2*3.2) = 342.2 [mm]
(28-406) ergeben RA = 1/2*(406 + 2*28 + 2*3.2) = 234.2 [mm]
Aus der Hyperbel-Gleichung wird
e = µroll * Ra = 0.00349 * 342.2 [mm] = 1.1943 [mm]
Der (noch) unbekannte Beiwert für den kleinen Durchmesser erechnet sich zu:
µroll = e/Ra = 1.1943 [mm] / 234.2 [mm] = 0.00510
Nach dem Verhältnis V = µroll(20") / µroll(28") = 0.00510 / 0.00349 = 1.46
ist der Rollwiderstandsbeiwert bei 20" um 46 % größer (Also noch mehr als meine Anfangs geschätzten 30 %)
Da kann man sich ja bloß freuen, daß es den Luftwiderstand gibt.
Edit:
Es sei betont, daß bei diesen Überlegungen immer davon ausgeangen wird, daß es sich um ein luftbereiftes Rad auf einer ebenen, festen Fahrbahn handelt. Das Verhalten des Reifens steht im Fokus. Die Fahrbahn ist dagegen als starr anzusehen.
Der Deformation der Fahrbahn kann damit Rechnung getragen werden, indem man der Rollwiderstandsbeiwert um einen Fahrbahn-Faktor erweitert. Aus µroll wird µroll = µroll(Rad) * µroll(Fahrbahn)
Im Falle einer ebenen, festen Fahrbahn wird µroll(Fahrbahn) = 1 usw...

MfG EmilEmil

EmilEmil hat geschrieben:
Also erstmal bei der Größenordnung kannst Du schon mal eine Null dranhängen, statt 3 % etwa 30% oder mehr !

Empirisch, also durch Messungen, ergeben sich aber doch sehr geringe Unterschiede.

Zu Berechnung der Kurven ist alles gesagt : Zitat EmilEmil "Der Mathematische Zusammenhang ist eine Hyperbel und e ist darin ein Proportionalitätsfaktor. Der Wert für e wurde mit der Methode der kleinsten Quadrate ermittelt."

Ok, also hofft man, dass man mit einer Hyperbel-Näherung die gemessenen Werte ungefähr approximieren kann?

Ich zitier mal wieder den Herrn Smolik:

Mit gleichem Vorbehalt begegnet man auch dem kleinen Laufrad. Im Vergleich mit einem großen Laufrad drückt sich sein Reifen im Kontaktbereich mit der Fahrbahn ebenfalls stärker ein und bietet daher mehr Fahrkomfort. Vergleichen kann man die Reifen großer und kleiner Laufräder auch hier erst dann, wenn der Fahrkomfort des Reifens vom kleinen Laufrad durch einen höheren Reifendruck mit dem des Großen angeglichen ist. Und dann rollt der Reifen des kleinen Laufrades ebenfalls mit geringerem Reibungsverlust, da sowohl seine Abplattung (Reifenaufstandfläche, siehe weiter unten), wie auch die Wulstbildung vor dem Reifen geringer ausfallen als beim großen Kollegen. Unberücksicht bleibt bei diesen Überlegungen lediglich, daß das kleine Laufrad bei größeren Bodenunebenheiten ein schlechteres Kletterverhalten, es also zum Überwinden eines Hindernisse "bockiger" klettert.

Mac

[

Pibach hat geschrieben:...........
Empirisch, also durch Messungen, ergeben sich aber doch sehr geringe Unterschiede.
...............................................
also hofft man, dass man mit einer Hyperbel-Näherung die gemessenen Werte ungefähr approximieren kann?

So, jetzt erklär ich es zum dritten Mal: Beim "Radgröße"-Diagramm sind
Kringel (in Rot) = Meßwerte, Kurve in Blau EmilEmil's analytische Kurve (3 bar)
Kringel (in Magenta) = Meßwerte, Kurve in Braun EmilEmil's analytische Kurve (2 bar).

Durch Messungen ergeben sich schon deutliche Unterschiede für kleinere/größere Räder (Einfach mal die Werte der Kringel ablesen und vergleichen !).
Man (in diesem Fall EmilEmil) braucht nicht auf eine gute Näherung zu "hoffen", bei Ansicht der Diagramme ist diese evident. Ich kann mir ziemlich gut vorstellen, daß sich EmilEmil bei der Auswahl der Hyperbeln etwas Sinnvolles gedacht. Denn zB eine Parabel hat er gar nicht erst in Erwägung gezogen und wenn mit der einfachen Hyperbel die Korrelation zu den Meßwerten nicht auf Anhieb geklappt hat ("Druckgröße"-Diagramm), hat er sie mit einer Parallelverschiebung auf der y-Achse modifiziert.
@PeterPibach, behalte immer im Hinterkopf, daß der Rollwiderstand eine Konstante ist, während der Luftwiderstand quadratisch mit der Geschwindigkeit anwächst. Bei etwa 15 km/h sind beide Größen etwa gleich (Verhältnis 1:1), bei der doppelten Geschwindigkeit ist der Luftwiderstand 4 mal größer (Verhältnis 4:1). Bei 45 km/h ist das Verhältnis 9:1 (3² = 9).
Vergleicht man die Leistungen (die erfordern vom Radler nun mal unmittelbare Reaktionen des Tretapparates) , so sind die Widerstandsanteile bei 15 km/h gleich, bei 30 km/h ist die Luftwiderstandsleistung 4-mal größer (2² = 4) als die Rollwiderstandsleistung. Bei 45 km/h (3²= 9) ist das
Verhältnis 9:1. Es folgen hier die gleichen Verhältnisse wie zuvor bei den Kräften, da die Rollwiderstandsleistung linear mit der Geschwindigkeit zunimmt, die Luftwiderstandsleistung mit der dritten Potenz. Im Unterschied ergibt sich wieder ein quadratisches Gesetz.
Es gehört für jeden Radler zum Erfahrungsschatz, daß man, ausgehend von einem Standardwert durch Druckerhöhung den Rollwiderstand verringern kann. Das geht dann nätürlich zu Lasten des Komforts (Vgl "Radgröße-Diagramm Kurven für 2 [bar] und 3[bar]).
Damit sind wir beim Smolik-Zitat von @derMac : Diese Überlegungen scheinen mir sehr sinnvoll zu sein. Zur Abrundung dieser Gedanken wäre eine quantitave Untersuchung wünschenswert. Und, da ich mich schon mit den Einfederungskurven beschäftigt habe, kann ich das in der Zukunft auch mal in Angriff nehmen. Leider fehlt mir im Moment dafür die Zeit, und irgendetwas Drauflosgeschwafeltes möchte ich dazu nicht in die Gegend posaunen.

MfG EmilEmil

Emil, Ich blicke da bisher nicht durch, was Du da gemacht hast. Aber es gibt zahlreiche Ausrolltest, z.B. von Liegrädern. Da hat die Radgröße bisher kaum eine messbare Rolle gespielt. Liegt in dem Bereich von etwa 3%. Jede Theorie muss das also irgendwie berücksichtigen

Pibach hat geschrieben:Emil, Ich blicke da bisher nicht durch, was Du da gemacht hast. Aber es gibt zahlreiche Ausrolltest, z.B. von Liegrädern. Da hat die Radgröße bisher kaum eine messbare Rolle gespielt. Liegt in dem Bereich von etwa 3%. Jede Theorie muss das also irgendwie berücksichtigen

Tach, haste da ein paar Links? Test ist ja nicht gleich Test, besondners wenn noch weitere Fehlerquellen, wie ein Fahrrad dazukommen. Da wäre eine richtige Vorrichtung mit der die Reifen unter kontrollierten gleichbleibenden Bedingungen getestet werden sicher genauer. Der Großteil der Werte die oben aufgeführt wurden hat sich ja auch keiner ausgedacht.

Gruß